Sie wissen, was Unendlichkeit ist. Sie ist größer als jede Zahl. Sie ist das, wohin Sie zählen, wenn Sie ewig zählen, ohne jemals aufzuhören. Sie ist die Gesamtheit alles Existierenden und noch ein wenig mehr.
Wenn die Leute Fragen zum Thema Unendlichkeit haben, gibt es immer eine Sache, die sie wissen möchten:
Auf diese Frage gibt es tatsächlich eine Antwort. Es ist keine offene Frage, und es ist auch keine Trickfrage. Die Antwort lautet entweder »Ja« oder »Nein«, und am Ende dieses Kapitels werde ich Ihnen sagen, wie sie lautet.
Sie können jetzt schon versuchen zu raten, aber vielleicht sollten wir zuerst die Spielregeln festlegen, damit Sie wissen, wovon wir reden.
In jedem Falle brauchen wir eine Regel, die »größer« definiert. Wie können wir sicher wissen, dass wir etwas gefunden haben, das größer als die Unendlichkeit ist? Bei endlichen Mengen ist es leicht zu erkennen, wann etwas größer ist als etwas anderes. Bei der Unendlichkeit scheint das aber nicht so offensichtlich zu sein. Wir wollen uns nicht mit Ermessensentscheidungen begnügen, daher sollten wir eine solide, narrensichere Regel aufstellen, die uns sagt, wann eine Menge »größer« als eine andere ist.
Wie bestimmen wir denn in normalen, endlichen Fällen üblicherweise, was »größer« ist? Was bedeutet es, wenn wir sagen, dass die Anhäufung auf der rechten Seite größer ist als die auf der linken?
Ja, es ist völlig offensichtlich, wenn man es sich anschaut. Aber stellen Sie sich vor, Sie treffen jemanden – einen Außerirdischen von einem anderen Planeten –, der noch nie etwas von »größer«, »mehr« oder dergleichen gehört hat. Wie erklären Sie ihm, dass der rechte Stapel größer ist? Nein, wirklich, versuchen Sie das mal! Es ist ein so grundlegendes Konzept, dass es gleich wieder schwer ist, es von Grund auf zu erklären.
Wenn man in der Mathematik nicht weiterkommt, besteht ein gängiger Trick darin, die genau entgegengesetzte Frage zu stellen und zu sehen, wohin das führt. Wie würden Sie dem Außerirdischen also erklären, dass diese beiden Stapel hier gleich groß sind?
Auf das Wort »gleich« können Sie dabei nicht zurückgreifen, denn das ist ja genau, was wir zu definieren versuchen. Dieser Außerirdische möchte verstehen, wovon Sie sprechen, wenn Sie Dinge als »gleich« oder »dasselbe« bezeichnen.
Hier eine Idee, was Sie tun könnten, um sich verständlich zu machen: Ordnen Sie die Sachen in einer Reihe an, um auf diese Weise zu zeigen, dass jedem einzelnen Gegenstand auf der einen Seite ein Gegenpart auf der anderen Seite zugeordnet werden kann. Die Reihen (oder eben die beiden Anhäufungen) haben die gleiche Größe, weil man die einzelnen Bestandteile beider Seiten einander zuordnen kann, ohne dass etwas übrig bleibt.
Neue Regel
Zwei Anhäufungen sind von gleicher Größe, wenn man ihre einzelnen Objekte einander in Paaren zuordnen kann, ohne dass am Ende etwas übrig bleibt.
Unser »Frage nach dem Gegenteil«-Trick hat funktioniert. Wir erhalten jetzt eine brauchbare Definition von »größer«, indem wir die Regel entsprechend umformulieren:
Neue Regel
Lassen sich die einzelnen Objekte zweier Anhäufungen einander nicht restlos in Paaren zuordnen, dann ist diejenige Anhäufung die größere, bei der es Überbleibsel gibt.
Nun ist die Frage klar definiert, und die Antwort steht fest. Gibt es irgendetwas, das größer als die Unendlichkeit ist? Ja oder nein – was sagen Sie? Gibt es etwas, bei dem etwas übrig bliebe, wenn man versuchen würde, es mit einer unendlichen Anhäufung zu vergleichen? Jetzt ist es an der Zeit, eine fundierte Vermutung anzustellen.
Wir können uns die Unendlichkeit als einen Beutel ohne
