| Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques | 270 |
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| 4 | 270 |
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| 1 Introduction | 11 |
| 2 Modèles | 14 |
| 2.1 Équation de bilan | 14 |
| 2.1.1 Trafic routier | 15 |
| 2.1.2 Système de Saint Venant | 17 |
| 2.1.3 Dynamique des gaz compressibles | 20 |
| 2.2 Invariance Galiléenne | 22 |
| 2.3 Coordonnées de Lagrange | 24 |
| 2.3.1 Changement de coordonnées et lois de conservation | 25 |
| 2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d'espace | 28 |
| 2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d'espace | 29 |
| 2.3.4 Formulation de Hui | 31 |
| 2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d'espace | 31 |
| 2.4 Système linéairement bien posé et hyperbolicité | 32 |
| 2.4.1 Stabilité linéaire en dimension un d'espace | 32 |
| 2.4.2 Stabilité linéaire en dimension supérieure | 35 |
| 2.5 Exemples de calcul des vitesses d'onde | 37 |
| Le trafic routier | 37 |
| Le système de St Venant | 38 |
| La dynamique des gaz compressibles en dimension un | 38 |
| Application numérique | 39 |
| La dynamique des gaz compressibles en dimension supérieure | 40 |
| Le cas lagrangien | 41 |
| 2.6 Exercices | 43 |
| 2.7 Notes bibliographiques | 45 |
| 3 Étude d'une loi de conservation | 47 |
| 3.1 Solutions fortes et méthode des caractéristiques | 48 |
| 3.2 Solutions faibles | 52 |
| 3.3 Solutions faibles entropiques | 55 |
| 3.3.1 Discontinuités entropiques | 58 |
| 3.3.2 Choc et discontinuité de contact | 61 |
| 3.3.3 Équation des détentes | 62 |
| 3.3.4 Solution entropique du problème de Riemann | 64 |
| 3.3.5 Application et interprétation physique | 65 |
| 3.4 Calcul numérique de solutions faibles entropiques | 69 |
| 3.4.1 Notion de schéma conservatif | 69 |
| 3.4.2 Schéma de Volumes Finis | 72 |
| 3.4.3 Construction du flux à partir de la méthode des caractéristiques | 72 |
| Premier cas : l'équation du transport | 72 |
| Deuxième cas : le modèle LWR | 73 |
| 3.4.4 Cas général | 76 |
| 3.4.5 Définition d'un schéma générique | 78 |
| 3.4.6 Convergence | 80 |
| 3.4.7 Applications et analyse des résultats | 82 |
| Modèle LWR | 82 |
| Modèle OM pour le trafic dans la ville de Bogota | 84 |
| Modèle de Buckley-Leverett | 84 |
| 3.5 Comparaison numérique choc-discontinuité de contact | 86 |
| 3.6 Optimisation du schéma | 87 |
| 3.6.1 Optimisation par rapport à la contrainte de stabilité | 88 |
| 3.6.2 Optimisation par rapport à la précision | 88 |
| 3.7 Schémas lagrangiens pour le trafic routier | 89 |
| 3.7.1 Schéma lagrangien | 90 |
| Forme finale du flux | 91 |
| 3.7.2 Un résultat numérique | 91 |
| 3.8 Exercices | 92 |
| 3.9 Notes bibliographiques | 94 |
| 4 Systèmes | 95 |
| 4.1 Exemples | 96 |
| 4.1.1 Système des eaux peu profondes | 96 |
| 4.1.2 Système de la dynamique des gaz compressible | 97 |
| 4.2 Entropie et variables entropiques | 100 |
| 4.3 Solutions faibles entropiques | 103 |
| 4.4 Solutions autosemblables en xt | 106 |
| 4.4.1 Discussion des détentes | 107 |
| 4.4.2 Discussion des discontinuités | 110 |
| Analyse des conditions de Rankine-Hugoniot (4.39) | 111 |
| Analyse de l'inégalité d'entropie (4.40) | 114 |
| 4.5 Retour sur la variable principale U | 118 |
| 4.6 Solution du problème de Riemann | 119 |
| 4.6.1 Théorème de Lax | 120 |
| 4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange | 121 |
| 4.7 Systèmes en coordonnée de Lagrange | 123 |
| 4.8 Systèmes à flux d'entropie nul | 124 |
| 4.9 Vitesses d'ondes pour les systèmes lagrangiens | 128 |
| 4.10 Enthalpie d'un système lagrangien | 133 |
| 4.11 Exemples de systèmes lagrangiens | 137 |
| 4.11.1 Le système de la magnétohydrodynamique idéale | 137 |
| 4.11.2 Le modèle de l'hélium superfluide de Landau | 142 |
| 4.11.3 Un modèle multiphasique | 147 |
| 4.12 Chocs pour les systèmes lagrangiens | 149 |
| 4.13 Exercices | 150 |
| 4.14 Notes bibliographiques | 156 |
| 5 Le système de la dynamique des gaz compressibles | 157 |
| 5.1 Calcul des vitesses d'ondes | 158 |
| 5.1.1 Détentes | 161 |
| 5.1.2 Les discontinuités | 162 |
| Les contacts | 162 |
| Les chocs | 163 |
| 5.1.3 Nombre de Mach | 166 |
| 5.1.4 Problème de Riemann pour la dynamique des gaz | 167 |
| 5.2 Discrétisation numérique | 167 |
| 5.3 Schéma eulérien de Roe | 170 |
| 5.3.1 Matrice de Roe pour la dynamique des gaz eulérienne | 173 |
| 5.3.2 Propriétés du schéma de Roe | 175 |
| Correcteur entropique et pas de temps | 178 |
| 5.3.3 Résultats numériques | 178 |
| Petite conclusion pour le schéma de Roe | 179 |
| 5.4 Schéma Lagrange+projection | 181 |
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