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Finite Elemente in der Baustatik Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

:	Horst Werkle
:	Finite Elemente in der Baustatik Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke
:	Vieweg+Teubner (GWV)
:	9783834894472
:	3
:	CHF 32.70
:

:	Bau- und Umwelttechnik
:	German

:	608
:	DRM
:	PC/MAC/eReader/Tablet
:	PDF

Die Finite Element Methode ist heute ein Standardverfahren zur Berechnung von Stab- und Flächentragwerken im konstruktiven Ingenieurbau mit Hilfe des Computers. Ihre sachgemäße Anwendung erfordert das Verständnis der Grundlagen der Methode sowie gute Kenntnisse in der Modellierung des Tragwerks. Dieses Buch will beides vermitteln. Der didaktisch sehr gute Aufbau des Buches, unterstützt durch viele aussagefähige Beispiele, macht das Erlernen und Anwenden der Finite Element Methode einfach möglich.

Die 3. Auflage wurde aktualisiert und um das Kapitel der nichtlinearen Finite-Element-Berechnungen erweitert. Neu ist auch die Behandlung der Wölbkrafttorsion. Wesentlich erweitert wurde das wichtige Kapitel zur Modellbildung von Tragwerken.

Prof. Dr.-Ing. Horst Werkle lehrt Baustatik an der Hochschule Konstanz.

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke (S. 87-88)

3.1 Überblick

3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren

Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme in der Baustatik führt im Allgemeinen auf ein lineares algebraisches Gleichungssystem. Ausnahmen bilden Untersuchungen, bei denen geometrische oder materialbedingte Nichtlinearitäten von Bedeutung sind. Sind die Unbekannten dieses Gleichungssystems Kräfte und Momente, so spricht man vom Kraftgrößenverfahren, sind es Verschiebungen und Verdrehungen, vom Verschiebungsgrößenverfahren. Sowohl das Kraftgrößenverfahren als auch das Verschiebungsgrößenverfahren können in Matrizenschreibweise formuliert und somit in einer für die Computerberechnung geeigneten Form angeschrieben werden [3.1]-[3.6].

Jedoch ist das Verschiebungsgrößenverfahren übersichtlicher und leichter schematisierbar als das Kraftgrößenverfahren und damit besser zur Programmierung geeignet. Daher beruhen fast alle in der Praxis angewandten Programmsysteme für baustatische Berechnungen auf dem Verschiebungsgrößenverfahren. Dieses wird im Folgenden ausschließlich behandelt. In der Literatur wird das Verschiebungsgrößenverfahren auch als Weggrößenverfahren, Formänderungsgrößenverfahren oder Deformationsverfahren bezeichnet. Die Formulierung des Verschiebungsgrößenverfahrens in Matrizenschreibweise wird auch bei Stabwerken meist als „Finite-Element-Methode" bezeichnet.

Diese Bezeichnung wird im Folgenden übernommen, da Stabwerke lediglich einen Spezialfall der allgemeineren Anwendung auf Flächentragwerke und dreidimensionale Kontinua darstellen. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente besteht darin, das zu berechnende Tragwerk in eine größere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zu zerlegen und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und der statischen Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammenzufügen. Da hierbei auch unterschiedliche Tragwerkselemente, wie z. B. Elemente zur Abbildung von Stäben, Scheiben, Platten sowie dreidimensionalen Kontinuen, in demselben Berechnungsmodell verwendet werden können, ist die Methode äußerst vielseitig und leistungsfähig.

3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite

Elemente Zur Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente diskretisiert man das Tragwerk in einzelne sogenannte Finite Elemente. Diese sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. An den Knotenpunkten werden Verschiebungsgrößen (Verschiebungen und Verdrehungen) sowie - als äußere Belastung des Systems - Kraftgrößen (Kräfte und Momente) definiert. Diese sind auf das globale Koordinatensystem bezogen, für das in der Regel kartesische Koordinaten verwendet werden. Verschiebungen oder Verdrehungen eines Knotenpunkts in globalen Koordinaten werden ganz allgemein auch als globale Freiheitsgrade bezeichnet.

Welche Freiheitsgrade einem Knotenpunkt zugeordnet werden, hängt von der Art des Tragwerks ab. Im allgemeinen räumlichen Fall sind sechs Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x-, y- und z-Achse möglich. Bei ebenen Systemen und speziellen Tragwerksformen verringert sich die Anzahl der zu berücksichtigenden Freiheitsgrade, beispielsweise bei einer Platte in der x-y-Ebene auf drei Freiheitsgrade je Knotenpunkt, nämlich die Verschiebung in z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x- und y-Achse (Bild 3-3). Die Definition von auf den Knotenpunkt bezogenen Kräften und Momenten, z. B. für Einzellasten, entspricht der Vorzeichendefinition der zugehörigen Verschiebungsfreiheitsgrade.

	Vorwort zur 1. Auflage	6
	Vorwort zur zweiten Auflage	7
	Vorwort zur dritten Auflage	8
	Inhaltsverzeichnis	10
	1 Matrizenrechnung	15
	1.1 Matrizen und Vektoren	15
	1.2 Matrizenalgebra	17
	1.2.1 Addition und Subtraktion	17
	1.2.2 Multiplikation	18
	1.2.3 Matrizeninversion	20
	1.3 Gleichungssysteme	21
	1.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme	21
	1.3.2 Existenz von Lösungen	22
	1.3.3 Lösungsverfahren	23
	1.3.4 Normen und Konditionszahl	32
	1.4 Eigenwertprobleme	33
	1.4.1 Allgemeines Eigenwertproblem	33
	1.4.2 Numerische Lösungsverfahren für Eigenwertprobleme	39
	1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme	51
	1.5.1 Einführung	51
	1.5.2 Sekantenverfahren	53
	1.5.3 Newton-Raphson-Verfahren	55
	1.5.4 Quasi-Newton-Verfahren	64
	1.5.5 Kurvenverfolgungsverfahren	68
	1.5.6 Konvergenzkriterien	74
	1.5.7 Steuerungsstrategien	76
	2 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie	79
	2.1 Tragwerkstypen und Grundgleichungen	79
	2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe	80
	2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte	89
	2.4 Räumliche Tragwerke	97
	3 Finite-Element-Methode für Stabwerke	101
	3.1 Überblick	101
	3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren	101
	3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente	101
	3.1.3 Berechnungsverfahren	103
	3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke	105
	3.2.1 Statisches System	105
	3.2.2 Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs	106
	3.2.3 Koordinatentransformation	108
	3.2.4 Systemsteifigkeitsmatrix	114
	3.2.5 Auflagerbedingungen	121
	3.2.6 Lösung des Gleichungssystems	124
	3.2.7 Auflagerkräfte und Elementspannungen	125
	3.3 Federn	128
	3.4 Biegebalken	129
	3.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix	129
	3.4.2 Elementlasten	132
	3.4.3 Erweiterung der Steifigkeitsmatrix für Normalkräfte und zur	138
	Berücksichtigung der Schubsteifigkeit	138
	3.4.4 Koordinatentransformation	139
	3.4.5 Gelenke	141
	3.5 Zusammengesetzte Stabwerke	144
	3.6 Räumliche Stabwerke	147
	3.6.1 Allgemeines	147
	3.6.2 Biegebalken	148
	3.6.3 Biegebalken mit Wölbkrafttorsion	151
	3.7 Modellbildung bei Stabwerken	157
	3.7.1 Auflager	157
	3.7.2 Federn	159
	3.7.3 Biegebalken	162
	3.7.4 Symmetrische Systeme	168
	3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen	171
	3.8.1 Fehlermöglichkeiten bei Stabwerksberechnungen	171
	3.8.2 Kontrollen von Stabwerksberechnungen	175
	4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke	181
	4.1 Historische Entwicklung	181
	4.2 Überblick	181
	4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode	183
	4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel	183
	4.3.2 Analytische Lösung	184
	4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz	187
	4.3.4 FEM-Näherungslösung mit quadratischem Verschiebungsansatz	194
	4.3.5 Eigenschaften der FEM-Näherungslösung	202
	4.4 Rechteckelement für Scheiben	203
	4.4.1 Ansatzfunktionen	203
	4.4.2 Verzerrungen und Spannungen	206
	4.4.3 Steifigkeitsmatrix	208
	4.4.4 Elementlasten	211
	4.4.5 Beispiele	214
	4.5 Finite Elemente für Scheiben	220
	4.5.1 Eigenschaften von Finiten Elementen	220
	4.5.2 Elemente mit stetigen Verschiebungsansätzen	226
	4.5.3 Nichtkonforme Elemente	234
	4.5.4 Hybride Elemente	235
	4.6 Rechteckelement für Platten	243
	4.6.1 Elementtyp	243
	4.6.2 Ansatzfunktionen	243
	4.6.3 Verzerrungsgrößen und Schnittgrößen	245
	4.6.4 Steifigkeitsmatrix	247
	4.6.5 Elementlasten	249
	4.7 Finite Elemente für Platten	251
	4.7.1 Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz	251
	4.7.2 Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz	252
	4.7.3 Hybride Plattenelemente	257
	4.7.4 Beispiel	258
	4.8 Finite Elemente für Schalen	261
	4.8.1 Ebene Schalenelemente	261
	4.8.2 Gekrümmte Schalenelemente als modifizierte Volumenelemente	264
	4.8.3 Rotationssymmetrische Schalenelemente	264
	4.9 Volumenelemente	268
	4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten	269
	4.10.1 Allgemeines	269
	4.10.2 EST-Element zur Verbindung von Stäben und Stützen mit Scheiben	271
	4.10.3 EST-Element zur Verbindung von Stützen mit Plattentragwerken	284
	4.10.4 We